Question

已知函數(shù)f（x）=|

a

x

-1|-4a（x+1）-1．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）記函數(shù)y=f（x）所有零點(diǎn)之和為g（a），當(dāng)a＞0時(shí)，求g（a）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=|

1

x

+1|+4x+3=

1 x +4x+4， 1 x +1≥0 - 1 x +4x+2， 1 x +1＜0

；從而可得方程

1 x +1≥0 1 x +4x+4=0

或

1 x +1＜0 - 1 x +4x+2=0

；從而解得；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=|

a

x

-1|-4a（x+1）-1=

a x -1-4ax-4a-1， a x -1≥0 1- a x -4ax-4a-1， a x -1＜0

；從而可得x₁=

-1-2a+ (1+2a)2+4a2

4a

，x₂=-

1

2

；化簡(jiǎn)可得x₁+x₂=

1

4

（-

1

a

+

( 1 a +2)2+4

）-1，令t=

1

a

+2，（t＞2）；從而可得x₁+x₂=

1

4

（-t+

t2+4

+2）-1，構(gòu)造函數(shù)g（t）=-t+

t2+4

=

4

t2+4 +t

，從而可得g（t）∈（0，g（2））=（0，2

2

-2）；從而解得．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，
f（x）=|

1

x

+1|+4x+3=

1 x +4x+4， 1 x +1≥0 - 1 x +4x+2， 1 x +1＜0

；
從而得

1 x +1≥0 1 x +4x+4=0

或

1 x +1＜0 - 1 x +4x+2=0

；
解得，x=-

1+ 5

4

；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，
f（x）=|

a

x

-1|-4a（x+1）-1
=

a x -1-4ax-4a-1， a x -1≥0 1- a x -4ax-4a-1， a x -1＜0

；
故方程f（x）=0可得，

0≤x≤a a x -4ax-2-4a=0

或

x＜0或x＞a a x +4ax+4a=0

；
故x₁=

-1-2a+ (1+2a)2+4a2

4a

，x₂=-

1

2

；
所以x₁+x₂=

-1+ (1+2a)2+4a2

4a

-1；
故x₁+x₂=

1

4

（-

1

a

+

( 1 a +2)2+4

）-1，令t=

1

a

+2，（t＞2）；
所以x₁+x₂=

1

4

（-t+

t2+4

+2）-1，
設(shè)g（t）=-t+

t2+4

，（t＞2）；
g（t）=-t+

t2+4

=

4

t2+4 +t

，
所以g（t）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（t）∈（0，g（2））=（0，2

2

-2）；
所以x₁+x₂∈（-

1

2

，

2

2

-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用及絕對(duì)值函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用，屬于中檔題．