Question

9．已知直線y=k（x+2）與拋物線y²=8x交于A、B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則直線FA與直線FB的斜率之和等于（　　）

• A． -4
• B． 4
• C． 0
• D． 2

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點F（2，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理，由直線的斜率公式，可得直線FA與直線FB的斜率之和，化簡整理代入計算即可得到所求和．

解答 解：如圖所示拋物線y²=8x的焦點為F（2，0），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化為k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，（k≠0）．
由于△＞0，
可得x₁+x₂=$\frac{8-4{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
則直線FA與直線FB的斜率之和為$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{k（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）+k（{x}_{2}+2）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{k（2{x}_{1}{x}_{2}-8）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
故直線FA與直線FB的斜率之和為0，
故選：C．

點評 本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．