Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是直線x=a上一點，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$a，則雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設P（a，t）（t＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得t=b，設|PF₁|=m，|PF₂|=n，運用勾股定理和三角形的面積公式計算，可得c²=$\frac{4}{3}$a²，再由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設P（a，t）（t＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由PF₁⊥PF₂，可得$\frac{t}{a+c}$•$\frac{t}{a-c}$=-1，
即有t²=c²-a²=b²，
可得t=b，
設|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由勾股定理可得m²+n²=4c²，
又m+n=2$\sqrt{2}$a，
即有2mn=（m+n）²-（m²+n²）=8a²-4c²，
由三角形的面積公式可得
$\frac{1}{2}$mn=$\frac{1}{2}$•2c•b，
可得2a²-c²=bc，
兩邊平方可得4a⁴-4a²c²+c⁴=c²（c²-a²），
化為c²=$\frac{4}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用勾股定理和等積法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．