Question

10．如圖，在三棱錐P-ABC中，面PAC⊥面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，M，N為線段PC上的點(diǎn)，若MN=$\sqrt{2}$，則三棱錐A-MNB的體積為（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 取AC中點(diǎn)O，連接BO，可得BO⊥AC，再由面面垂直的性質(zhì)可得BO⊥面PAC，然后利用等積法把三棱錐A-MNB的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐B-AMN得體積求解．

解答 解：如圖，取AC中點(diǎn)O，連接BO，
∵AB=BC，BO⊥AC，
∵面PAC⊥面ABC，
∴由面面垂直的性質(zhì)可得，BO⊥面PAC，
∵AB=BC=PA=PC=2，AC=AC，
∴△ABC≌△APC，
又AB⊥BC，
∴AP⊥PC，即△APC為直角三角形，
在Rt△ABC中，由AB=BC=2，得AC=$2\sqrt{2}$，
∴OB=$\sqrt{2}$，
則V_A-MNB=V_B-AMN，
又MN=$\sqrt{2}$，
∴V_A-MNB=V_B-AMN=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{2}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的求法，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面的體積，是中檔題．