Question

12．在三棱錐A-BCD中，底面BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為△BCD的中心，若E為BC的中點(diǎn)，且直線AE與底面BCD所成角的正切值為2$\sqrt{2}$，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（　　）

• A． 3π
• B． 4π
• C． 5π
• D． 6π

Answer 1

分析 先判斷三棱錐為正四面體，構(gòu)造正方體，由面上的對(duì)角線構(gòu)成正四面體，故可得正方體的棱長(zhǎng)，即可求出外接球的半徑，從而可得三棱錐A-BCD外接球的表面積．

解答 解：∵定點(diǎn)A在底面BCD上的射影為三角形BCD的中心，
而且底面BCD是正三角形，
∴三棱錐A-BCD是正三棱錐，∴AB=AC=AD，
令底面三角形BCD的重心（即中心）為P，
∵底面BCD為邊長(zhǎng)為2的正三角形，DE是BC邊上的高，
∴DE=$\sqrt{3}$，∴PE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，DP=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
∵直線AE與底面BCD所成角的正切值為2$\sqrt{2}$，即$tan∠AEP=2\sqrt{2}$
∴AP=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
∵AD²=AP²+DP²（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，
∴三棱錐為正四面體，構(gòu)造正方體，由面上的對(duì)角線構(gòu)成正四面體，故正方體的棱長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
∴正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{6}$，∴外接球的半徑為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
∴外接球的表面積=4πr²=6π．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線AE與底面BCD所成角，考查三棱錐A-BCD外接球的表面積，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．