Question

4．m為何正整數(shù)時(shí)，方程組$\left\{\begin{array}{l}{mx+y+z=0}\\{3mx+（m-1）y+（2m-1）z=0}\\{2mx+3y+（m+3）z=0}\end{array}\right.$有非零解，并求出一組解使它滿足x+2y+3z=7．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)方程組$\left\{\begin{array}{l}{mx+y+z=0①}\\{3mx+（m-1）y+（2m-1）z=0②}\\{2mx+3y+（m+3）z=0③}\end{array}\right.$得（5-m）（y+z）=0，從而討論可得m=5；代入可得$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{15x+4y+9z=0}\\{10x+3y+8z=0}\end{array}\right.$，從而分析可得$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{10x+3y+8z=0}\\{x+2y+3z=7}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：由題意，
$\left\{\begin{array}{l}{mx+y+z=0①}\\{3mx+（m-1）y+（2m-1）z=0②}\\{2mx+3y+（m+3）z=0③}\end{array}\right.$
①+③-②得（5-m）（y+z）=0，
若y+z=0，則mx=0，
解得m=0（舍）或x=0；
將x=0代入②，化簡(jiǎn)得mz=0，
又∵m≠0，則z=0=y；
故不成立；
故m=5；
代入方程組得，
$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{15x+4y+9z=0}\\{10x+3y+8z=0}\end{array}\right.$，
比較容易發(fā)現(xiàn)上下兩方程相加得到中間的一個(gè)，
因而有一個(gè)方程無(wú)效，刪掉中間的一個(gè)即可；
再加上x+2y+3z=7，聯(lián)立可得，
$\left\{\begin{array}{l}{5x+y+z=0}\\{10x+3y+8z=0}\\{x+2y+3z=7}\end{array}\right.$，
解得，x=-$\frac{7}{8}$，y=$\frac{21}{4}$，z=-$\frac{7}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三元一次方程組的化簡(jiǎn)與解法，屬于中檔題．