Question

13．解下列關于x的不等式：
（1）ax²+（a-1）x-1＞0；
（2）$\frac{{x}^{2}-x-6}{{x}^{2}-x-12}$＞0．

Answer 1

分析 （1）原不等式為（x+1）（ax-1）＞0，由a=0、a＞0、a=-1、-1＜a＜0、a＜-1五種情況進行分類討論，能求出原不等式的解集．
（2）利用穿根引線法能求出原不等式的解集．

解答 解：（1）∵ax²+（a-1）x-1＞0，∴（x+1）（ax-1）＞0，
①當a=0時，不等式化為-x-1＞0，解得x＜-1，∴原不等式的解集為{x|x＜-1}；
②當a＞0時，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集為{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$}；
③當a=-1時，不等式化為（x+1）²＜0
∴原不等式無解；
④當-1＜a＜0時，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集為{x|$\frac{1}{a}$＜x＜-1}；
⑤當a＜-1時，解方程ax²+（a-1）x-1=0，得x₁=-1，x₂=$\frac{1}{a}$，
∴原不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{1}{a}$}．
（2）∵$\frac{{x}^{2}-x-6}{{x}^{2}-x-12}$＞0，∴$\frac{（x+2）（x-3）}{（x+3）（x-4）}$＞0，
如圖，利用穿根引線法得原不等式的解集為：{x|x＜-3或2＜x＜3或x＞4}．

點評 本題考查不等式的解集的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想和穿根引線法的合理運用．