Question

11．已知球面上的四點(diǎn)P、A、B、C，PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為3、4、5，且這三條線(xiàn)段兩兩垂直，則這個(gè)球的體積為（　�。�

• A． $\frac{{1000\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $\frac{{375\sqrt{2}}}{16}π$
• C． 50π
• D． $\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$

Answer 1

分析 由題意知球面上的四點(diǎn)P、A、B、C是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是外接球的直徑，求出直徑即求出外接球的體積．

解答 解：球面上的四點(diǎn)P、A、B、C，又PA、PB、PC的長(zhǎng)分別為3、4、5，且這三條線(xiàn)段兩兩垂直，是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，
擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，兩者的外接球相同，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為l=$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，外接球的半徑為R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
∴球的體積為：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四面體的外接球體積的求法問(wèn)題，解題時(shí)把四面體擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑．