Question

16．如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAV⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=$\sqrt{2}$，O，M分別AB，VA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：VB∥平面 M OC；
（Ⅱ）求三棱錐V-A BC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，知OM∥VB．由此能證明VB∥平面MOC．
（Ⅱ）推導(dǎo)出OC⊥AB，從而OC⊥平面VAB．由三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，能求出三棱錐V-ABC的體積．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，
所以O(shè)M∥VB．
又因?yàn)閂B?平面MOC，OM?平面MOC，
所以VB∥平面MOC．…（4分）
解：（Ⅱ）因?yàn)锳C=BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB．
又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB．
在等腰直角三角形ACB中，$AC=BC=\sqrt{2}$，所以AB=2，OC=1．
所以等邊三角形VAB的面積${S_{△VAB}}=\sqrt{3}$．又因?yàn)镺C⊥平面VAB，
所以三棱錐C-VAB的體積等于$\frac{x^2}{{3{c^2}}}+\frac{y^2}{{2{c^2}}}=1$．
又因?yàn)槿�棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，
所以三棱錐V-ABC的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．