Question

10．已知x，y，z＞0．a(chǎn)，b，c是x，y，z的-個(gè)排列．求證：$\frac{a}{x}+\frac{y}+\frac{c}{z}$≥3．

Answer 1

分析 運(yùn)用排序不等式證明不等式，可先設(shè)定變量間的大小關(guān)系，再構(gòu)造出相應(yīng)的順序和，亂序和與反序和，最后運(yùn)用它們間的大小關(guān)系證明不等式．

解答 證明：不妨設(shè)x≥y≥z＞0，則$\frac{1}{z}$≥$\frac{1}{y}$≥$\frac{1}{x}$，
根據(jù)排序不等式，構(gòu)造出相應(yīng)的亂序和與反序和，即：
①a，b，c與$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{z}$的“亂序和”為：$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$+$\frac{c}{z}$，
②a，b，c與$\frac{1}{x}$，$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{z}$的“反序和”為：x•$\frac{1}{x}$+y•$\frac{1}{y}$+z•$\frac{1}{z}$=3，
因?yàn)�，亂序和≥反序和，
所以，$\frac{a}{x}$+$\frac{y}$+$\frac{c}{z}$≥3，即證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了運(yùn)用排序不等式證明不等式，即“亂序和≥反序和”，其中合理構(gòu)造這兩種“和”是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．