Question

13．已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R，b≠0，i為虛數(shù)單位），且2z+$\frac{1}{z}$為實數(shù)，求2z+$\frac{1}{z}$的取值范圍．

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件即可得出．

解答 解：2z+$\frac{1}{z}$=2（a+bi）+$\frac{1}{a+bi}$=2a+2bi+$\frac{a-bi}{（a+bi）（a-bi）}$=2a+$\frac{a}{{a}^{2}+^{2}}$+（2b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$）i為實數(shù)，
∴2b-$\frac{{a}^{2}+^{2}}$=0，b≠0，解得a²+b²=$\frac{1}{2}$．
∵b≠0，∴a∈$（-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
∴2z+$\frac{1}{z}$=2a+2a=4a∈$（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$．

點評 本題考查了數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．