Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)$M（-\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，且離心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=x+m與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與圓x²+y²=2交于C，D兩點(diǎn)．
①當(dāng)|CD|=2時，求直線l的方程；
②若λ=$\frac{|AB|}{|CD|}$，試求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)M滿足橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）①求出O到直線的距離，由圓的弦長公式可得2$\sqrt{{r}^{2}-gvjafqq^{2}}$，解方程可得m的值，進(jìn)而得到直線的方程；
②將直線y=x+m代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，再由直線和圓相交的條件和弦長公式，化簡整理，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a²-b²=c²，
將M的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得
$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{^{2}}$=1，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）①O到直線y=x+m的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
由弦長公式可得2=2$\sqrt{2-\frac{{m}^{2}}{2}}$，
解得m=±$\sqrt{2}$，
可得直線的方程為y=x±$\sqrt{2}$；
②由y=x+m代入橢圓方程x²+2y²=8，
可得3x²+4mx+2m²-8=0，
由判別式為△=16m²-12（2m²-8）＞0，
化簡可得m²＜12，
由直線和圓相交的條件可得d＜r，
即有$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{2}$，即為m²＜4，
綜上可得m的范圍是（-2，2）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{3}$，
即有弦長|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{9}-\frac{8{m}^{2}-32}{3}}$=$\frac{4}{3}$•$\sqrt{12-{m}^{2}}$，
|CD|=2$\sqrt{2-\frac{{m}^{2}}{2}}$=$\sqrt{8-2{m}^{2}}$，
即有λ=$\frac{|AB|}{|CD|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{\frac{12-{m}^{2}}{4-{m}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{1+\frac{8}{4-{m}^{2}}}$，
由0＜4-m²≤4，可得$\frac{8}{4-{m}^{2}}$≥2，
即有λ≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
則λ的取值范圍是[$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，以及直線和圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．