Question

5．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+$\frac{3}{4}$）=f（x-$\frac{3}{4}$），當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，f（x）=|log₂x|，則方程f（x）=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的實根個數(shù)為2．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期為$\frac{3}{2}$，作出當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，f（x）=|log₂x|的圖象，平移可得f（x）在[$\frac{1}{2}$，5]的圖象，由題意只要求函數(shù)y=f（x）和y=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的交點個數(shù)．通過圖象觀察，即可得到所求個數(shù)．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足f（x+$\frac{3}{4}$）=f（x-$\frac{3}{4}$），
可得f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$）=f（x+$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4}$）=f（x），
即有f（x）的最小正周期為$\frac{3}{2}$，
作出當x∈[$\frac{1}{2}$，2]時，f（x）=|log₂x|的圖象，
平移可得f（x）在[$\frac{1}{2}$，5]的圖象，
方程f（x）=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的實根個數(shù)即為函數(shù)y=f（x）和y=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的交點個數(shù)．
由f（x）的最大值為1，log_π$\frac{7}{2}$＞1，
可得y=f（x）和y=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的交點個數(shù)為2．
則方程f（x）=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的實根個數(shù)為2．
故答案為：2．

點評 本題考查方程的解個數(shù)問題的解法，注意運用轉化思想，以及數(shù)形結合的思想方法，求出函數(shù)的周期，畫出函數(shù)的圖象是解題的關鍵，屬于中檔題．