Question

16．已知函數(shù)f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4sin²x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且對f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與二倍角公式化簡函數(shù)f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4sin²x+1為y=$4sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．后求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且對f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A），推出f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π），求出A，通過余弦定理，和基本不等式確定bc的范圍，然后求出$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的表達式，即可求出它的最大值．

解答 解：f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4sin²x+1=$2\sqrt{3}sin2x-4×\frac{1-cos2x}{2}+1$
=$2\sqrt{3}sin2x+2cos2x-1$=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）-1$
=$4sin（2x+\frac{π}{6}）-1$；
當$2x+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$時，f（x）_max=3；
（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π）得到，A=$\frac{π}{6}$，
將a=2，A=$\frac{π}{6}$代入b²+c²-a²=2bccosA，可得$^{2}+{c}^{2}-4=\sqrt{3}bc$，
又∵b²+c²≥2bc，∴$\sqrt{3}$bc≥2bc-4，則bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=4（2+$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc≤6+4$\sqrt{3}$，當且僅當b=c時，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$最大，最大值為6+4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積的坐標表示，基本不等式的應用，二倍角和兩角和的正弦函數(shù)的應用是解題的關鍵，解答（2）的關鍵是挖掘f（A）是f（x）的最大值，屬中檔題．