Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx-ax+a，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，若$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜2（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求解導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{2}{x}$-2=$\frac{2（1-x）}{x}$，運(yùn)用不等式結(jié)合導(dǎo)數(shù)的在單調(diào)性得出關(guān)系得出f（x）=2lnx-2x+2，
在（0，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，判斷最大值為f（1）．
（2）根據(jù)$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$意義與導(dǎo)數(shù)有關(guān)系，得出f′（x）＜2（$\frac{1}{x}$-1）求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=2lnx-ax+a，a∈R．
（1）a=2，f（x）=2lnx-2x+2，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-2=$\frac{2（1-x）}{x}$，
f′（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$=0，x=1，
f′（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$＞0，0＜x＜1，
f′（x）=$\frac{2（1-x）}{x}$＜0，x＞1，
∴f（x）=2lnx-2x+2，在（0，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，
故f（x）的最大值為f（1）=2ln1-2=2=0．
（2）∵f（x）=2lnx-ax+a，a∈R．
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-a，
∵當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，若$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜2（$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）恒成立，
∴f′（x）＜2（$\frac{1}{x}$-1），
即$\frac{2}{x}$-a＜2（$\frac{1}{x}-1$），x＞0，
求解得出：a＞2，
故a的取值范圍：a＞2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的概念，幾何意義，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求解最值，屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的常規(guī)題目，難度不大．