Question

4．求關(guān)于x的函數(shù)y=（a+sinx）（a+cosx）（a＞0）的最大值與最小值．

Answer 1

分析 把給出的函數(shù)解析式展開，令t=sinx+cosx換元，得到y(tǒng)=g（t）=$\frac{1}{2}$[（t+a）²+a²-1]，它的圖象的對稱軸方程為t=-a≤0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得y=g（t）的最值．

解答 解：f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²．
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），則sinxcoax=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=g（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+at+a²=$\frac{1}{2}$[（t+a）²+a²-1]，且函數(shù)y的對稱軸方程為t=-a＜0．
①當(dāng)-a＞-$\sqrt{2}$，即a＜$\sqrt{2}$時(shí)，y在[-$\sqrt{2}$ a]上為減函數(shù)，在（a，$\sqrt{2}$]上為增函數(shù)，y_min=g（-a）=$\frac{{a}^{2}-1}{2}$；
y_max=g（$\sqrt{2}$）=a²+$\sqrt{2}$a+$\frac{1}{2}$．
②當(dāng)-a≤-$\sqrt{2}$，即a≥$\sqrt{2}$時(shí)，y在[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]上為增函數(shù)，y_min=g（-$\sqrt{2}$）=a²-$\sqrt{2}$a+$\frac{1}{2}$；
y_max=g（$\sqrt{2}$）=a²+$\sqrt{2}$a+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)最值的求法，考查了換元法，訓(xùn)練了利用分類討論的方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．