Question

4．設拋物線y²=4x的焦點為F，過點M（2，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點，與拋物線的準線相交于點C，$|{BF}|=\frac{3}{2}$，則$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$=（　　）

• A． 1：4
• B． 1：5
• C． 1：7
• D． 1：6

Answer 1

分析 先求得拋物線的焦點坐標和準線方程，再利用拋物線定義，求得點B的坐標，從而寫出直線AB方程，聯(lián)立拋物線方程求得A點坐標，從而得到A到準線的距離，就可求出BN與AE的長度之比，得到所需問題的解．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線方程為x=-1，
如圖，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
過A，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為E，N，
則|BF|=|BN|=x₂+1=$\frac{3}{2}$，
∴x₂=$\frac{1}{2}$，
把x₂=$\frac{1}{2}$代入拋物線y²=4x，得，y₂=-$\sqrt{2}$，
∴直線AB過點M（2，0）與（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{2}$）方程為y=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（x-2），代入拋物線方程，解得，x₁=8，
∴|AE|=8+1=9，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴$\frac{{|{BC}|}}{{|{AC}|}}$=$\frac{|BN|}{|AE|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{9}$=$\frac{1}{6}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了拋物線的應用，拋物線的簡單性質．考查了學生基礎知識的綜合運用和綜合分析問題的能力．