Question

13．設n∈N^*，求證：$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+…+$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 推得$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n+1}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂項相消求和和放縮法，結合不等式的性質，即可得證．

解答 證明：由$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n+1}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
可得$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{25}$+…+$\frac{1}{（2n+1）^{2}}$＜$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，
即有原不等式成立．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用裂項相消和放縮法證明，考查推理和運算能力，屬于中檔題．