Question

6．如圖，正方形ABCD中，以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：AE=EB；
（Ⅱ）若EF•FC=$\frac{4}{5}$，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出EA為圓D的切線，且EB是圓O的切線，由此利用切割線定理能證明AE=EB．
（Ⅱ）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，連結(jié)BF，由射影定理能求出正方形ABCD的面積．

解答 證明：（Ⅰ）∵以D為圓心、DA為半徑的圓弧與以BC為直徑半圓交于點(diǎn)F，
且四邊形ABCD為正方形，
∴EA為圓D的切線，且EB是圓O的切線，
由切割線定理得EA²=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，連結(jié)BF，
∵BC為圓O的直徑，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF²=$\frac{4}{5}$，
∴BF=$\frac{2}{5}\sqrt{5}$=$\frac{a×\frac{a}{2}}{\sqrt{{a}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}}}$，解得a=2，
∴正方形ABCD的面積為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段相等的證明，考查正方形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．