Question

10．如圖，圓錐的軸截面PAB是等腰直角三角形，AB的中點為O，C是底面圓周上異于A，B的任意一點，D為線段OC的中點，E為母線PA上一點，且AE=3EP．
（1）證明：ED∥平面PCB；
（2）設二面角A-OP-C的大小為θ，二面角A-PC-B的大小為φ，求證$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （1）連接AD，延長與BC交于F，則AD=3DF，證明ED∥PF，即可證明ED∥平面PCB；
（2）建立坐標系，求出平面的法向量，即可求出$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$，從而證明$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$為定值．

解答 證明：（1）連接AD，延長與BC交于F，則AD=3DF，
∵AE=3EP，
∴ED∥PF，
∵ED?平面PCB，PF?平面PCB，
∴ED∥平面PCB；
（2）由題意，∠AOC=θ，建立坐標系，設OA=1，則P（0，0，1），A（0，-1，0），B（0，1，0），C（sinθ，-cosθ，0），
∴$\overrightarrow{PA}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{PC}$=（sinθ，-cosθ，-1），
設平面PAC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），則$\left\{\begin{array}{l}{-b-c=0}\\{asinθ-bcosθ-c=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{m}$=（$\frac{cosθ-1}{sinθ}$，1，-1）
同理平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\frac{cosθ+1}{sinθ}$，1，1），
∴$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$=$\frac{|\overrightarrow{m}{|}^{2}|\overrightarrow{n}{|}^{2}}{（\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}）^{2}}$=$\frac{（co{s}^{2}θ+1+2si{n}^{2}θ）^{2}-4co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}$
∴$\frac{1}{co{s}^{2}φ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{（co{s}^{2}θ+1+2si{n}^{2}θ）^{2}-4co{s}^{2}θ}{si{n}^{4}θ}$-$\frac{8}{si{n}^{2}θ}$=1

點評 本題考查線面平行，考查空間角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．