Question

15．以下五個關于圓錐曲線的命題中：
①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1有相同的焦點；
②以拋物線的焦點弦（過焦點的直線截拋物線所得的線段）為直徑的圓與拋物線的準線是相切的．
③設A、B為兩個定點，k為常數，若|PA|-|PB|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；
④過定圓C上一點A作圓的動弦AB，O為原點，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，則動點P的軌跡為橢圓．
其中真命題的序號為①②（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：①雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1的焦點坐標為（±5，0），橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1的焦點坐標為（±5，0），所以雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1有相同的焦點，正確；
②不妨設拋物線為標準拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側，以X軸為對稱軸．
設過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M，M到準線的距離是d．
而P到準線的距離d₁=|PF|，Q到準線的距離d₂=|QF|．
又M到準線的距離d是梯形的中位線，故有d=$\frac{|PF|+|QF|}{2}$，
由拋物線的定義可得：$\frac{|PF|+|QF|}{2}$=$\frac{|PQ|}{2}$=半徑．
所以圓心M到準線的距離等于半徑，
所以圓與準線是相切，正確．
③平面內與兩個定點F₁，F(xiàn)₂的距離的差的絕對值等于常數k（k＜|F₁F₂|）的點的軌跡叫做雙曲線，當0＜k＜|AB|時是雙曲線的一支，當k=|AB|時，表示射線，所以不正確；
④設定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點A（m，n），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，可知P為AB的中點，則B（2x-m，2y-n），因為AB為圓的動弦，所以B在已知圓上，把B的坐標代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當B與A重合時AB不是弦，所以點A除外，所以不正確．
故答案為：①②．

點評 本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，同時考查了橢圓與雙曲線的性質，考查的知識點較多，屬于中檔題．