Question

2．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2b=asinC．
（1）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（2）若tanA=3，求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡得到的關(guān)系式，得到2sinB=sinAsinC，再由三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得到sinB=sin（A+C），代入關(guān)系式中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinAsinC不為0，等式左右兩邊同時除以cosAcosC，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，即可得到所求式子的值；
（2）由已知及$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{2}$，可求tanC，利用三角形內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式，兩角和的正切函數(shù)公式即可求tanB的值．

解答 解：（1）∵2b=asinC．
∴sinC=$\frac{2b}{a}$，
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，
∴$\frac{a}=\frac{sinB}{sinA}$，
∴sinC=$\frac{2sinB}{sinA}$，即2sinB=sinAsinC，
∵A+B+C=π，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2sinAcosC+2cosAsinC=sinAsinC，
∵sinA•sinC≠0，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵tanA=3，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanC=6，
∴tanB=-tan（A+C）=$\frac{tanA+tanC}{tanAtanC-1}$=$\frac{3+6}{3×6-1}$=$\frac{9}{17}$．

點評 此題考查了正弦定理，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．