Question

2．定義在（0，$\frac{π}{2}$）上的函數(shù)f（x），f′（x）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有f（x）＞f′（x）tanx成立，則（　　）

• A． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$
• B． $f（1）＞2f（\frac{π}{6}）sin1$
• C． $\sqrt{2}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{4}}）$
• D． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$

Answer 1

分析 把給出的等式變形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此聯(lián)想構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，由其導(dǎo)函數(shù)的符號得到其在（0，$\frac{π}{2}$）上為增函數(shù)，即可判斷．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴sinx＞0，cosx＞0，
由f（x）＞f′（x）tanx，得f（x）cosx＞f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{si{n}^{2}x}$＜0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$），上單調(diào)遞減，
∴$\frac{f（\frac{π}{4}）}{sin\frac{π}{4}}＞\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
∴$\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$，
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．