Question

13．已知直線l：x+y=b交拋物線C：y²=2px（b＞p＞0）于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=8，C的焦點(diǎn)F到直線1的距離為$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求△OAB外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由直線l：x+y=b與拋物線C：y²=2px聯(lián)立，消去x整理成關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)坐標(biāo)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=8，由韋達(dá)定理得方程，結(jié)合C的焦點(diǎn)F到直線1的距離為$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，求出b，p，即可求拋物線C的方程；
（2）求出A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求△OAB外接圓的方程．

解答 解：（1）由直線l：x+y=b與拋物線C：y²=2px，得y²+2py-2pb=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁•y₂=-2pb，y₁+y₂=-2p
x₁•x₂=（b-y₁）•（b-y₂）=b²，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=8，∴x₁•x₂+y₁•y₂=b²-2pb=8，
∵C的焦點(diǎn)F到直線1的距離為$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{|\frac{p}{2}-b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∵b＞p＞0，∴b=4，p=1，
∴拋物線C的方程y²=2x；
（2）由（1）y²+2y-8=0，∴y=2或-4，
∴A（2，2），B（8，-4）
設(shè)△OAB外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey=0，
A，B代入可得$\left\{\begin{array}{l}{4+4+2D+2E=0}\\{64+16+8D-4E=0}\end{array}\right.$，∴D=-8，E=4，
∴△OAB外接圓的方程為x²+y²-8x+4y=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．