Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項$\underset{之}{•}$$\underset{積}{•}$為T_n，且T_n=1-a_n，（n∈N^*）
（I）求a₁，并證明數(shù)列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)S_n=T${\;}_{1}^{2}$+T${\;}_{2}^{2}$+…+T${\;}_{n}^{2}$，求證：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由T_n=1-a_n，當(dāng)n=1時，a₁=1-a₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時，T_n-1=1-a_n-1，相除可得：${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$，計算$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$為常數(shù)即可證明結(jié)論．
（II）由（I）可得：$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+（n-1），可得T_n=$\frac{1}{n+1}$．于是S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
首先證明左邊：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n．利用$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，可得$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，利用“裂項求和”即可得出．
再證明右邊：S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．當(dāng)n=1時，當(dāng)n=2時，直接驗(yàn)證不等式成立．當(dāng)n≥3時，利用$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}+4n}$＜$\frac{2}{{n}^{2}+5n+6}$=$2（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$，即可證明．

解答 （1）解：∵T_n=1-a_n，
∴當(dāng)n=1時，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時，T_n-1=1-a_n-1，
∴${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{1-{a}_{n}}{1-{a}_{n-1}}$，
化為a_n=$\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2-{a}_{n-1}}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n-1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項為2，公差為1．
（II）證明：由（I）可得：$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=2+（n-1），
解得1-a_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=T${\;}_{1}^{2}$+T${\;}_{2}^{2}$+…+T${\;}_{n}^{2}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
首先證明左邊：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n．
∵$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，
∴$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$＜\frac{1}{{n}^{2}+2n+1}$，
∴S_n＞$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，
∴$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$＜S_n．
再證明右邊：S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．
當(dāng)n=1時，$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{4}$＜$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}-\frac{1}{3}$，不等式成立；
當(dāng)n=2時，$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$=$\frac{13}{36}$，$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$=$\frac{5}{12}$=$\frac{15}{36}$，$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$，不等式成立．
當(dāng)n≥3時，$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=$\frac{2}{2{n}^{2}+4n}$＜$\frac{2}{{n}^{2}+5n+6}$=$2（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$，
∴S_n＜$2[（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）]$
=2$（\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}）$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{n+3}$＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$．
∴S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．
綜上可得：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$＜S_n＜$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{n+2}$（n∈N^*）．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項公式、“放縮法”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．