Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-（k+1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=$\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[0，+∞）上的最小值為-6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義，可得f（-x）+f（x）=0恒成立，化簡整理，即可得到所求值；
（2）由f（1）的值，解得a=2，可得f（x）的解析式，由x的范圍，可得t=f（x）的范圍，再由g（x）化簡整理可得g（x）=t²-2mt+2，t∈[0，+∞），求出對稱軸，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最小值，解方程可得m的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a^x-（k+1）a^-x是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=a^-x-（k+1）a^x+a^x-（k+!）a^-x
=-k（a^x+a^-x）=0對于任意實(shí)數(shù)都成立．
∴k=0；
（2）f（x）=a^x-a^-x，
由 f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=2，（負(fù)值舍去），
即有t=f（x）=2^x-2^-x，
由x≥0，可得2^x≥1，
由t在[0，+∞）遞增，可得t∈[0，+∞），
由g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）
=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2，
即有函數(shù)y=t²-2mt+2，t∈[0，+∞），
由g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[0，+∞）上的最小值為-6，
即y=t²-2mt+2，t∈[0，+∞）上的最小值為-6，
對稱軸為t=m，
當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)在[0，+∞）上遞增，可得最小值為2，不成立；
當(dāng)m＞0時(shí)，最小值為m²-2m²+2=-6，
解得m=±2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查奇函數(shù)的定義的運(yùn)用，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查換元法，以及二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．