Question

15．如果過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線(xiàn)l與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有公共點(diǎn)，那么直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是（　�。�

• A． $（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，+∞）$
• C． $[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$
• D． $[-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

Answer 1

分析 設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線(xiàn)l的方程為y=k（x+2），與橢圓方程聯(lián)立，得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，由此利用根的判別式能求出直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍．

解答 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線(xiàn)l的方程為y=k（x+2），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0，
∵過(guò)點(diǎn)M（-2，0）的直線(xiàn)l與橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$有公共點(diǎn)，
∴△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
整理，得k²$≤\frac{1}{2}$，
解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)的斜率的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．