Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范圍，使xf（x）＞0在定義域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)有意義，只需a^x-1≠0；
（2）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（3）問(wèn)題等價(jià)于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，對(duì)不等式化簡(jiǎn)可求；

解答 解：（1）由a^x-1≠0，解得x≠0，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
（2）f（-x）=$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{x}}{1-{a}^{x}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{x}-1+1}{1-{a}^{x}}$+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{{a}^{x}-1}$-$\frac{1}{2}$=-（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，
∴xf（x）為偶函數(shù)，
∴xf（x）＞0在定義域上恒成立問(wèn)題等價(jià)于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即$\frac{1}{{a}^{x}-1}$$+\frac{1}{2}$＞0恒成立，
亦即$\frac{{a}^{x}+1}{2（{a}^{x}-1）}$＞0，所以a^x-1＞0即a^x＞1在（0，+∞）上恒成立，
所以a＞1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．