Question

3．設(shè)X為隨機(jī)變量，從棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，X=0；當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，X的值為四點(diǎn)組成的四面體的體積
（1）求X=0的概率；
（2）求X的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）求出從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，共有${C}_{8}^{4}$=70種情況，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，共有12種情況，即可由概率公式求得概率．
（2）四點(diǎn)不共面時(shí)，四面體的體積有以下兩種情況：①四點(diǎn)在相對(duì)面且異面的對(duì)角線上；②四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上，另一個(gè)點(diǎn)在相對(duì)側(cè)面上，求出相應(yīng)的概率，從而求出隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）從棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，共有${C}_{8}^{4}$=70種情況，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，共有12種情況，
∴P（X=0）=$\frac{12}{70}$=$\frac{6}{35}$．
（2）四點(diǎn)不共面時(shí)，四面體的體積有以下兩種情況：
①四點(diǎn)在相對(duì)面且異面的對(duì)角線上，體積為a³-4×$\frac{1}{6}$a³=$\frac{1}{3}$a³，這樣的取法共有2種；
②四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上，另一個(gè)點(diǎn)在相對(duì)側(cè)面上，體積為$\frac{1}{6}$a³，這樣的取法共有70-12-2=56種．
∴X的分布列為

X	0	$\frac{1}{3}$a3	$\frac{1}{6}$a3
P	$\frac{6}{35}$	$\frac{1}{35}$	$\frac{28}{35}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=$\frac{1}{3}$a³×$\frac{1}{35}$+$\frac{1}{6}$a³×$\frac{28}{35}$=$\frac{1}{7}$a³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，求概率是關(guān)鍵．