Question

5．集合A={x|0＜ax+1≤4}，集合B={x|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求a的值；
（2）若B⊆A，求a的值；
（3）A與B是否能相等？若能，求出a的值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)a分類討論，利用集合之間的關(guān)系即可解出；
（2））對(duì)a分類討論，利用集合之間的關(guān)系即可解出；
（3）對(duì)a分類討論，利用集合相等即可判斷出．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，A=R，不滿足A⊆B，舍去；
當(dāng)a＞0時(shí)，A=$\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{3}{a}\}$，∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤-\frac{1}{a}}\\{\frac{3}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a≥2，滿足a＞0，∴a≥2；
當(dāng)a＜0時(shí)，A=$\{x|\frac{3}{a}≤x＜-\frac{1}{a}\}$，∵A⊆B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜\frac{3}{a}}\\{-\frac{1}{a}≤2}\end{array}\right.$，解得a＜-6，滿足a＜0，∴a＜-6．
綜上可得：a≥2或a＜-6．
（2））當(dāng)a=0時(shí)，A=R，滿足B⊆A，因此a=0；
當(dāng)a＞0時(shí)，A=$\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{3}{a}\}$，∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}≤-\frac{1}{2}}\\{2≤\frac{3}{a}}\end{array}\right.$，解得a$≤\frac{3}{2}$，又a＞0，∴$0＜a≤\frac{3}{2}$；
當(dāng)a＜0時(shí)，A=$\{x|\frac{3}{a}≤x＜-\frac{1}{a}\}$，∵B⊆A，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{a}≤-\frac{1}{2}}\\{2＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，解得$a＞-\frac{1}{2}$，又a＜0，∴$-\frac{1}{2}$＜a＜0．
綜上可得：$-\frac{1}{2}＜a≤\frac{3}{2}$．
（3）當(dāng)a=0時(shí)，A=R，不滿足A=B，舍去；
當(dāng)a＞0時(shí)，A$\{x|-\frac{1}{a}＜x≤\frac{3}{a}\}$，若A=B，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}=-\frac{1}{a}}\\{2=\frac{3}{a}}\end{array}\right.$，解得a∈∅；
當(dāng)a＜0時(shí)，A=$\{x|\frac{3}{a}≤x＜-\frac{1}{a}\}$，不可能A=B．
綜上可得：A與B不能相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合之間的關(guān)系、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．