Question

12．已知x₁＜x₂且函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²-x+1的極大值為f（x₁）、極小值為f（x₂），又x₁，x₂中至少有一個數(shù)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則a-b的取值范圍為（　�。�

• A． （-2，+∞）
• B． （-∞，-2）
• C． （-∞，2）
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，結合題意，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出x₁＜0，1＜x₂＜2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解出即可．

解答 解：由題意f′（x）=ax²+bx-1，
f′（x）=0的根為x₁，x₂，且極大值為f（x₁）、極小值為f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（-∞，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，即f′（x）＞0，
f（x）在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，即f′（x）＜0，
所以a＞0，而x₁x₂=-$\frac{1}{a}$，∴x₁＜0，1＜x₂＜2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a+b-1＜0}\\{f′（2）=4a+2b-1＞0}\end{array}\right.$，
由a+b-1＜0得：-3a-3b＞-3①，
由4a+2b-1＞0得：4a+2b＞1②，
①+②得：a-b＞-2，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質(zhì)，求出x₁＜0，1＜x₂＜2是解題的關鍵，本題是一道中檔題．