Question

7．已知直線(xiàn)l的方程為2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的射影為點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1），求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件根據(jù)m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0 經(jīng)過(guò)直線(xiàn)ax+by+c=0和直線(xiàn)a′x+b′y+c′=0的交點(diǎn)，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）由題意可得點(diǎn)M在以線(xiàn)段PQ為直徑的圓上，其圓心為點(diǎn)C（0，-1），半徑為$\sqrt{2}$，求出|CN|的值，可得|MN|的范圍．

解答 解：（1）由2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，得 2x+y+m（y+2）=0，
所以直線(xiàn)l恒過(guò)直線(xiàn)2x+y=0與直線(xiàn)y+2=0交點(diǎn)Q（1，-2）．
（Ⅱ）因?yàn)橹本�(xiàn)l繞著點(diǎn)Q（1，-2）旋轉(zhuǎn)，
所以點(diǎn)M在以線(xiàn)段PQ為直徑的圓上，
圓心為點(diǎn)C（0，-1），半徑為$\sqrt{2}$，
因?yàn)镹的坐標(biāo)為（2，1），
以|CN|=2$\sqrt{2}$，
而 $\sqrt{2}$≤|MN|≤3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．