Question

7．在區(qū)間[0，$\frac{3π}{4}$]上隨機取一個數(shù)x，則時間“sinx+cosx≥1”發(fā)生的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)的輔助角公式求出sinx+cosx≤1的等價條件，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答 解：由sinx+cosx≥1得$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≥1，
即sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z
即2kπ≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∵0≤x≤$\frac{3}{4}$π，
∴當k=0時，x的取值范圍是0≤x≤$\frac{π}{2}$，
則“sinx+cosx≥1”發(fā)生的概率P=$\frac{\frac{π}{2}}{\frac{3π}{4}}$=$\frac{2}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，利用輔助角公式求出不等式的等價條件是解決本題的關鍵．