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12.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且x≤0時,fx=log12x+1,若f(a-1)<-1,則a的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).

分析 根據(jù)f(x)在(-∞,0]上為增函數(shù),結(jié)合奇偶性得出f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),
利用將f(a-1)<-1=f(-1)=f(1)轉(zhuǎn)化成絕對值不等式|a-1|>1,求出解集即可.

解答 解:∵f(x)是R上的偶函數(shù),且x≤0時,fx=log12x+1是單調(diào)增函數(shù),
∴f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)
又∵f(a-1)<-1=f(-1)=f(1),
∴|a-1|>1,
解得a>2或a<0;
∴a的取值范圍是(-∞,0)∪(2,+∞).

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與分段函數(shù)的應(yīng)用問題,也考查了函數(shù)的單調(diào)性與不等式的應(yīng)用問題,是綜合題.

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A.f(x)=8(x∈R)不是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”
B.“可構(gòu)造三角形函數(shù)”一定是單調(diào)函數(shù)
C.f(x)=1x2+1(x∈R)是“可構(gòu)造三角形函數(shù)”
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