Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．
（Ⅰ）若b²+c²=a²+bc，求角A的大小；
（Ⅱ）若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，又結(jié)合∠A是△ABC的內(nèi)角，即可求A的值．
（Ⅱ）由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B．利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得2A=2B或2A+2B=π，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵由已知得cosA=$\frac{b2+c2-a2}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，…（3分）
又∵∠A是△ABC的內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）在△ABC中，由acosA=bcosB，得sinAcosA=sinBcosB，…（6分）
∴sin2A=sin2B．…（7分）
∴2A=2B或2A+2B=π．…（9分）
∴A=B或$A+B=\frac{π}{2}$
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．…（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．