Question

12．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a_n+1+a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=a_n-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．
（1）證明：數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n ．

Answer 1

分析 （1）利用已知只要證明$\frac{_{n+1}}{_{n}}$為非0常數(shù)即可，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由b_n=a_n-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．可得a_n=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$+$\frac{1}{3}×{2}^{n+1}$，對(duì)n分類(lèi)討論，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{{a}_{n+1}-\frac{{2}^{n+2}}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-{a}_{n}+{2}^{n+1}-\frac{{2}^{n+1}×2}{3}}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=$\frac{-（{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}）}{{a}_{n}-\frac{{2}^{n+1}}{3}}$=-1，
b₁=a₁-$\frac{{2}^{2}}{3}$=1-$\frac{4}{3}$=-$\frac{1}{3}$．
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為-$\frac{1}{3}$，公比為-1．
∴b_n=-$\frac{1}{3}×（-1）^{n-1}$=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．
（2）解：∵b_n=a_n-$\frac{{2}^{n+1}}{3}$=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．
∴a_n=$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$+$\frac{1}{3}×{2}^{n+1}$，
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，S_n=$\frac{1}{3}[（-1+1）+（-1+1）+…+（-1+1）]$+$\frac{1}{3}×\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$=$\frac{4}{3}（{2}^{n}-1）$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，S_n=$\frac{4}{3}（{2}^{n}-1）$-$\frac{1}{3}×（-1）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．