Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d＞0，前n項和為S_n，且a₁=2，S₂•S₃=$\frac{112}{3}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若從{a_n}中抽取一個公比為q的等比數(shù)列{a${\;}_{{k}_{n}}$}，其中k₁=1，且k₁＜k₂＜…＜k_n＜…，k_n∈N^*，求滿足條件的最小q值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和等差數(shù)列的前n項和公式列出方程，由條件求出公差d，代入等差數(shù)列的通項公式化簡即可；
（Ⅱ）令k₂=2、3、4，由題意和等比數(shù)列的定義進(jìn)行驗證，求出等比數(shù)列{${a}_{{k}_{n}}$}的通項公式，并求出對應(yīng)數(shù)列{a_n}的項數(shù)，確定公比的最小值．

解答 解：（Ⅰ）因為a₁=2，S₂•S₃=$\frac{112}{3}$，所以（4+d）（6+3d）=$\frac{112}{3}$，
化簡得9d²+54d-40=0，解得d=$\frac{2}{3}$或-$\frac{20}{3}$，
又公差d＞0，則d=$\frac{2}{3}$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=$\frac{2}{3}（n+2）$；
（Ⅱ）由（I）知，數(shù)列{a_n}是正項遞增等差數(shù)列，
所以等比數(shù)列{${a}_{{k}_{n}}$}的公比q＞1，
若k₂=2，則q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{\frac{2}{3}（2+2）}{2}$=$\frac{4}{3}$，則${a}_{{k}_{3}}$=2×$（\frac{4}{3}）^{2}$=$\frac{32}{9}$，
由$\frac{32}{9}=\frac{2}{3}（n+2）$得n=$\frac{10}{3}$∉N^*，所以k₂＞2，同理k₂＞3，
若k₂=4，由a₄=4得q=2，此時${a}_{{k}_{n}}=2•{2}^{n-1}$組成等比數(shù)列，
設(shè)$2•{2}^{n-1}=\frac{2}{3}（m+2）$，解得3•2^n-1=m+2，
對任何正整數(shù)n，只要取m=3•2^n-1-2，
所以${a}_{{k}_{n}}$是數(shù)列{a_n}的第3•2^n-1-2項，
所以最小的公比q=2．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，以及等比數(shù)列的定義、通項公式，屬于中檔題．