Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e為$\frac{1}{2}$，過F₁的直線l₁與橢圓C交于M，N兩點，且△MNF₂的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l₂與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．過點O作直線l₂的垂線，垂足為Q，求點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （I）利用已知條件求出a，b，然后求解橢圓C的方程．
（II）利用條件得到OA⊥OB．（1）若直線l₂的斜率不存在，則點Q在x軸上．設點Q的坐標為（x₀，0），則A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．然后求出點Q的軌跡方程．（2）若直線l₂，的斜率存在，設直線l₂的方程為：y=kx+m，聯(lián)立直線與橢圓方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理以及OA⊥OB，整理得7m²=12（k²+1），然后求出點Q的軌跡方程．

解答 解：（I）由題意知，4a=8，所以a=2． …（2分）
∵$e=\frac{1}{2}$，∴c=1，b²=3．  …（3分）
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．   …（4分）
（II）∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，∴OA⊥OB．
（1）若直線l₂的斜率不存在，則點Q在x軸上．
設點Q的坐標為（x₀，0），則A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．
又∵A，B兩點在橢圓C上，∴$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{x_0}^2}}{3}=1$，${x_0}^2=\frac{12}{7}$．
∴點Q的坐標為$（±\sqrt{\frac{12}{7}}，0）$，即$|OQ|=\sqrt{\frac{12}{7}}$． …（6分）
（2）若直線l₂，的斜率存在，設直線l₂的方程為：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，消去y可得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0可得，m²＜3+4k²．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．…（8分）
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=0$．
∴$（{k^2}+1）\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{8{k^2}{m^2}}}{{3+4{k^2}}}+{m^2}=0$．
整理得7m²=12（k²+1），滿足m²＜3+4k²．…（9分）
又由已知可得，過原點O與直線l₂垂直的直線方程為$y=-\frac{1}{k}x$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{k}x\\ y=kx+m\end{array}\right.$得點Q的橫坐標與縱坐標分別為$x=-\frac{k}{{{k^2}+1}}m，y=\frac{1}{{{k^2}+1}}m$，
∴${x^2}+{y^2}=\frac{k^2}{{{{（{k^2}+1）}^2}}}{m^2}+\frac{1}{{{{（{k^2}+1）}^2}}}{m^2}=\frac{m^2}{{{k^2}+1}}=\frac{12}{7}$．即$|OQ|=\sqrt{\frac{12}{7}}$．…（11分）
綜合（1）、（2）可知，點Q的軌跡是以坐標原點為圓心，半徑為$\sqrt{\frac{12}{7}}$的一個圓，
且該圓的方程為：${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查分類討論思想，分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．