Question

15．已知函數(shù)f（x）=Asin（x-$\frac{π}{3}$）+B，且f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{2}$）=7，f（π）-f（0）=2$\sqrt{3}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用“五點(diǎn)作圖法”作出函數(shù)y=f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（3）討論函數(shù)y=f（x）的性質(zhì)（定義域、值域、奇偶性、最小正周期、單調(diào)性）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，列出方程組，求出A、B的值即得f（x）的解析式；
（2）列出表格，畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象；
（3）由函數(shù)f（x）的解析式，求出它的定義域和值域，得出f（x）是非奇非偶的函數(shù)，
再求出它的最小正周期與單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Asin（x-$\frac{π}{3}$）+B，f（$\frac{π}{3}$）+f（$\frac{π}{2}$）=7，
∴B+[Asin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$）+B]=2B+Asin$\frac{π}{6}$=7，
即2B+$\frac{1}{2}$A=7；
又∵f（π）-f（0）=2$\sqrt{3}$，
∴[Asin（π-$\frac{π}{3}$）+B]-[Asin（-$\frac{π}{3}$）+B]=2$\sqrt{3}$，
即Asin$\frac{π}{3}$+Asin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴2A×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
解得A=2，得B=3，
∴f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+3；
（2）列表如下，

x-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$
y	3	5	3	1	3

畫出函數(shù)f（x）在一個(gè)周期[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$]內(nèi)的函數(shù)圖象，如圖所示；
（3）由函數(shù)y=f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+3，得；
f（x）的定義域是R，值域是[1，5]；
f（x）的圖象既不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴在定義域R上f（x）是非奇非偶的函數(shù)；
f（x）的最小正周期為2π；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈Z，
即f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ+$\frac{11π}{6}$]，k∈Z；
同理，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了五點(diǎn)法作圖的應(yīng)用問題，是中檔題目．