Question

5．已知數(shù)列{a_n}是以m為首項(xiàng)，m為公差的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是以m為首項(xiàng)，m為公比的等比數(shù)列，其中a₂=b₂，設(shè)S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列$\left\{{\frac{{4{b_n}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

Answer 1

分析 由題意可得：a_n=mn，b_n=mⁿ．其中a₂=b₂，可得2m=m²，m≠0，解得m．可得b_n=2ⁿ，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：由題意可得：a_n=m+m（n-1）=mn，b_n=m×m^n-1=mⁿ．
其中a₂=b₂，∴2m=m²，m≠0，解得m=2．
∴b_n=2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，
∴$\frac{4_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{4×{2}^{n}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+2}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{{4{b_n}}}{{{S_n}{S_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為=$\frac{1}{{2}^{1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．
故答案為：1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．