【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為﹣3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求過(guò)點(diǎn)A(2,2)的切線方程.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3ax2+2bx+c,
依題意 ,
又f'(0)=﹣3即c=﹣3
∴a=1,b=0,
∴f(x)=x3﹣3x
(2)解:設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03﹣3x0),
∵f'(x)=3x2﹣3∴切線的斜率為f'(x0)=3x02﹣3,
∴切線方程為y﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(x﹣x0),
又切線過(guò)點(diǎn)A(2,2),
∴2﹣(x03﹣3x0)=(3x02﹣3)(2﹣x0),
∴2x03﹣6x02+8=0,即為2(x0+1)(x0﹣2)2=0,
解得x0=﹣1或2,
可得過(guò)點(diǎn)A(2,2)的切線斜率為0或9,
即有過(guò)點(diǎn)A(2,2)的切線方程為y﹣2=0或y﹣2=9(x﹣2),
即為y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0
【解析】(1)由函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為﹣3,求導(dǎo),可得±1是f′(x)=0的兩根,且f′(0)=﹣3,解方程組即可求得,a,b,c的值,從而求得f(x)的解析式;(2)設(shè)切點(diǎn),求切線方程,得到2=﹣2x03+6x02﹣6,解方程可得x0 , 運(yùn)用點(diǎn)斜式方程,進(jìn)而得到所求切線的方程.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本求導(dǎo)法則的相關(guān)知識(shí),掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x﹣2﹣x , 若對(duì)任意的x∈[1,3],不等式f(x2+tx)+f(4﹣x)>0恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱(chēng)為可入肺顆粒物,根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095﹣2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米~75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如表所示:
PM2.5日均值 | [25,35] | (35,45] | (45,55] | (55,65] | (65,75] | (75,85] |
頻數(shù) | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取3天,求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率;
(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù),記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求ξ的分布列;
(3)以這10天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量狀況,則一年(按366天算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí).(精確到整數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】Sn表示等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和,且S4=S9 , a1=﹣12
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)an及Sn;
(2)求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且Sn=2an﹣2,數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=1,且bn+1=bn+2.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn= ,求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和T2n .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0),短軸長(zhǎng)2,兩焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 過(guò)F1的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),且△F2MN的周長(zhǎng)為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l與橢圓C相交于A,B點(diǎn),點(diǎn)D為橢圓C上一點(diǎn),四邊形AOBD為矩形,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年3月29日,中國(guó)自主研制系全球最大水陸兩棲飛機(jī)AG600將于2017年5月計(jì)劃首飛,AG600飛機(jī)的用途很多,最主要的是森林滅火、水上救援、物資運(yùn)輸、海洋探測(cè)、根據(jù)災(zāi)情監(jiān)測(cè)情報(bào)部門(mén)監(jiān)測(cè)得知某個(gè)時(shí)間段全國(guó)有10起災(zāi)情,其中森林滅火2起,水上救援3起,物資運(yùn)輸5起,現(xiàn)從10起災(zāi)情中任意選取3起.
(1)求三種類(lèi)型災(zāi)情中各取到1個(gè)的概率;
(2)設(shè)表示取到的森林滅火的數(shù)目,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=10,d=3.令bn= ,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n .
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn;
(3)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1 , Tm , Tn成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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