Question

13．如圖，正方形BCDE的邊長(zhǎng)為a，已知AB=$\sqrt{3}$BC，將直角△ABE沿BE邊折起，A點(diǎn)在BCDE上的射影為D點(diǎn)，則對(duì)翻折后的幾何體有如下描述，其中錯(cuò)誤的敘述的是（　　）

• A． AB與DE所成角的正切值是$\sqrt{2}$
• B． 三棱錐B-ACE的體積是$\frac{1}{6}{a^3}$
• C． 直線BA與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{1}{3}$
• D． 平面EAB⊥平面ADE

Answer 1

分析 在A 中，由于BC∥DE，則∠ABC（或其補(bǔ)角）為AB與DE所成角；
在B中，V_B-ACE=$\frac{1}{3}$S_△BCE×AD；
在C中，確定∠BAE為直線BA與平面ADE所成角，即可求解；
在D中，證明BE⊥平面ADE，利用面面平行的判定，可得平面EAB⊥平面ADE．

解答 解：由題意，AD⊥平面BCDE，AD=a，AC=$\sqrt{2}$a，
在A中，∵BC∥DE，∴∠ABC（或其補(bǔ)角）為AB與DE所成角，
∵AB=$\sqrt{3}$a，BC=a，AC=$\sqrt{2}$a，∴BC⊥AC，∴tan∠ABC=$\sqrt{2}$，故A正確；
在B中，V_B-ACE=$\frac{1}{3}$S_△BCE×AD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×a×a×a=$\frac{1}{6}$a³，故B正確；
在C中，∵BE⊥平面ADE，∴∠BAE為直線BA與平面ADE所成角，
在△BAE中，∠BEA=90°，BE=a，AB=$\sqrt{3}$a，
∴sin∠BEA=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故C錯(cuò)誤；
在D中，∵AD⊥平面BCDE，BE?平面BCDE，∴AD⊥BE，∵BE⊥ED，AD∩ED=D，∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面EAB，∴平面EAB⊥平面ADE，故D正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圖形的翻折，考查空間線面位置關(guān)系，搞清翻折前后的變與不變是關(guān)鍵，是中檔題．