Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x³[ln（e^x+1）+ax]是奇函數(shù)，那么a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出f（x）=x³ln（e^x+1）+ax⁴，并求出f（-x）=-x³ln（e^x+1）+（a+1）x⁴，而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便可得出-x³ln（e^x+1）+（a+1）x⁴=-x³ln（e^x+1）-ax⁴，這樣便可求出a的值．

解答 解：f（x）=x³ln（e^x+1）+ax⁴，f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x）；
∵f（-x）=-x³ln（e^-x+1）+ax⁴
=$-{x}^{3}ln（\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}}）+a{x}^{4}$
=-x³[ln（e^x+1）-x]+ax⁴
=-x³ln（e^x+1）+（a+1）x⁴=-x³ln（e^x+1）-ax⁴；
∴a+1=-a；
∴$a=-\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點評 考查奇函數(shù)的定義，以及對數(shù)的運算，多項式相等的充要條件．