Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當x＞0時，f（x）=|x-a²|-a²，若對任意的x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），則實數(shù)a的取值范圍為

 

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Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：此題是一道填空題，因此可以采用數(shù)形結合的方法解決，“對任意的x∈R，恒有f（x+a）≥f（x）”也就相當于在實數(shù)集R上，f（x+a）的圖象恒在f（x）的圖象上方，據(jù)此列出關于a的不等式解出來即可．

解答： 解：當x＞0時，做出函數(shù)f（x）=|x-a²|-a²的圖象，因為a²≥0，且該函數(shù)圖象過原點，關于x=a²對稱，頂點為（a²，-a²），結合該函數(shù)還是奇函數(shù)，作出圖象如下：

而函數(shù)y=f（x+a）的圖象是將y=f（x）像左平移|a|個單位得到的，要使任意的x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），只需f（x+a）的圖象恒在f（x）的圖象上方或部分重合，
所以只需y=f（x+a）與x軸最右邊的交點在A在y=f（x）與x軸最左邊交點B的左邊或重合”
因此應該有2a²-a≤-2a²，即4a²-a≤0解得0≤a≤

1

4

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故答案為0≤a≤

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4

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點評：這道題是將不等式恒成立問題轉化為函數(shù)的最值問題，因為問題相對復雜，因此借助于數(shù)形結合，使得問題變得簡單明了，注意此法適合于選擇、填空題．