Question

14．設(shè)n∈N^*，函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，函數(shù)g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$（x＞0）．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象分別位于直線y=1的兩側(cè)，求n的取值集合A；
（3）對(duì)于?∈A，?x₁，x₂∈（0，+∞），求|f（x₁）-g（x₂）|的最小值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的圖象分別位于直線y=1的兩側(cè)，?n∈N^*，函數(shù)f（x）有最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$＜1，即f（x）在直線l：y=1的上方，可得g（n）=$（\frac{e}{n}）^{n}$＞1求n的取值集合A；
（3）?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-g（x₂）|的最小值等價(jià)于$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$，發(fā)布網(wǎng)球場(chǎng)相應(yīng)的函數(shù)值，比較大小，即可求|f（x₁）-g（x₂）|的最小值．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），
由f′（x）＞0，可得0＜x＜e，f′（x）＜0，可得x＞e，
∴函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∵f（e）=$\frac{1}{e}$＞0，f（$\frac{1}{e}$）=-e＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，e）上存在一個(gè)零點(diǎn)，
x∈（e，+∞），f（x）=$\frac{lnx}{x}$＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（e，+∞）上不存在零點(diǎn)，
綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)；
（2）f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{n}}$，∴f′（x）=$\frac{1-nlnx}{{x}^{n+1}}$（x＞0），
由f′（x）＞0，可得0＜x＜${e}^{\frac{1}{n}}$，f′（x）＜0，可得x＞${e}^{\frac{1}{n}}$，
∴函數(shù)f（x）在（0，${e}^{\frac{1}{n}}$）上單調(diào)遞增，（${e}^{\frac{1}{n}}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=${e}^{\frac{1}{n}}$時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$．
由g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{n}}$（x＞0），得g′（x）=$\frac{（x-n）{e}^{x}}{{x}^{n+1}}$（x＞0），
由g′（x）＞0，可得x＞n，g′（x）＜0，可得0＜x＜n，
∴函數(shù)f（x）在（0，n）上單調(diào)遞減，（n，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=n時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值g（n）=$（\frac{e}{n}）^{n}$，
∵?n∈N^*，函數(shù)f（x）有最大值f（${e}^{\frac{1}{n}}$）=$\frac{1}{ne}$＜1，即f（x）在直線l：y=1的上方
∴g（n）=$（\frac{e}{n}）^{n}$＞1，
∴n＜e，
∴A={1，2}；
（3）?x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-g（x₂）|的最小值等價(jià)于$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$．
n=1時(shí)，$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$=e-$\frac{1}{e}$．n=2時(shí)，$（\frac{e}{n}）^{n}-\frac{1}{ne}$=$\frac{{e}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2e}$．
∵（e-$\frac{1}{e}$）-（$\frac{{e}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2e}$）=$\frac{{e}^{2}（4-e）-2}{4e}$＞0，
∴|f（x₁）-g（x₂）|的最小值為$\frac{{e}^{2}}{4}$-$\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．