Question

5．（1）平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為常數(shù)k（k≠1）的點的軌跡是圓，這個圓就是阿波羅圓．設(shè)A（m，0），B（2m，0）（m≠0），動點M（x，y）到點A、B的距離之比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．求證動點M的軌跡是一阿波羅圓．
（2）設(shè)直線t（x-2）-y=0所過定點為P，對（1）M的軌跡在m=1時，過定點P作動直線l交M的軌跡于C，D兩點．求△COD的面積最大時所對應(yīng)的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用兩點之間的距離公式可得$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2m）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，將上式化簡即可證明．
（2）由直線t（x-2）-y=0可知：其所過定點為P（2，0）．依題意可設(shè)l的方程為y=k（x-2），m=1時，圓的方程為x²+y²=2，此時要△COD的面積最大，則需∠COD=90°，亦即弦|CD|=2．利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 （1）證明：由$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則$\frac{\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2m）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，將上式化簡得x²+y²=2m²，
∴M是以原點為圓心，半徑為$\sqrt{2}$|m|的圓，故結(jié)論成立．
（2）解：由直線t（x-2）-y=0可知：其所過定點為（2，0），即P（2，0）．
依題意可設(shè)l的方程為y=k（x-2），m=1時，圓的方程為x²+y²=2，
此時要△COD的面積最大，則需∠COD=90°，亦即弦|CD|=2．
從而O到直線l的距離為1＜由1=$\frac{|0-0-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）．

點評 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓的相交弦長問題問題、三角形面積、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．