Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax²+ln（x+b）．
（1）當(dāng)a=0時，曲線y=f（x）與直線y=x+1相切，求b的值；
（2）當(dāng)b=1時，函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)都在x-y≥0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切點(diǎn)的坐標(biāo)，代入切線方程，求b的值；
（2）根據(jù)已知，有x＞-1時，x-ax²-ln（x+1）≥0恒成立，即ax²-x+ln（x+1）≤0恒成立，設(shè)F（x）=ax²-x+ln（x+1）（x＞-1），則原命題等價于F（x）_max≤0恒成立．

解答 解：（1）當(dāng)$a=0，f（x）=ln（{x+b}），{f^'}（x）=\frac{1}{x+b}$
令f′（x）=1∴x=1-b，于是切點(diǎn)坐標(biāo)為（1-b，0）
將切點(diǎn)坐標(biāo)（1-b，0）代入切線方程，有0=1-b+1∴b=2；
（2）根據(jù)已知，有x＞-1時，x-ax²-ln（x+1）≥0恒成立，
即ax²-x+ln（x+1）≤0恒成立，
設(shè)F（x）=ax²-x+ln（x+1）（x＞-1），則原命題等價于F（x）_max≤0恒成立.${F^'}（x）=2ax-1+\frac{1}{x+1}=\frac{{x[{2ax+（{2a-1}）}]}}{x+1}$
若a＜0，令F′（x）=0，有$x=0（{x=\frac{1-2a}{2a}=-1+\frac{1}{2a}＜-1舍去}）$，此時
當(dāng)-1＜x＜0，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x＞0，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)
于是F（x）_max=F（0）=0，滿足條件；
若$a=0，{F^'}（x）=\frac{-x}{1+x}$
當(dāng)-1＜x＜0，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＞0，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，
于是F（x）_max=F（0）=0，滿足條件；
若a＞0，$F（{\frac{1}{a}}）=ln（{\frac{1}{a}+1}）＞ln1=0$，不滿足條件．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評 本題主考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最值等有關(guān)知識，注意不等式成立的條件及分類討論思想、轉(zhuǎn)化及化歸思想的運(yùn)用，屬綜合性較強(qiáng)的題目，難題．