Question

12．如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P．如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P（圖2）．有下列四個結(jié)論，其中錯誤的代號是（　�。�

• A． 若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿
• B． 將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點(diǎn)P
• C． 任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P
• D． 正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)圖1中水的高度為h₂，幾何體的高為h₁，底面正方形的邊長為b，利用水的體積，得出h₁與h₂的關(guān)系，從而判斷D錯誤，A、B、C正確．

解答 解：設(shè)圖1中水的高度h₂，幾何體的高為h₁，底面正方形的邊長為b；
則圖2中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
即$\frac{2}{3}$b²h₂=b²（h₁-h₂），解得h₁=$\frac{5}{3}$h₂，
所以正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半是錯誤的，即D錯誤．
對于A，往容器內(nèi)再注入a升水，水面將升高$\frac{2}{3}$h₂，則h₂+$\frac{2}{3}$h₂=$\frac{5}{3}$h₂=h₁，容器恰好能裝滿，A正確；
對于B，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時，P點(diǎn)在長方體中截面上，占容器內(nèi)空間的一半，
所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，B正確；
對于C，任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，P點(diǎn)在長方體中截面上，始終占容器內(nèi)空間的一半，
所以水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P，C正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查幾何模型的應(yīng)用問題，也考查了空間幾何體的體積應(yīng)用問題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的應(yīng)用，是綜合性題目．