Question

20．已知P（x_p，5）是雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞0，b＞0）上的一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線的左，右焦點，若|PF₁|•|PF₂|=$\frac{9}{4}$ac，△PF₁F₂的內(nèi)切圓的面積為4π，則雙曲線Γ的漸近線方程為（　�。�

• A． y=$±\sqrt{2}$x
• B． y=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$x
• C． y=±$\frac{4}{3}$x
• D． y=±$\sqrt{6}$x

Answer 1

分析 設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n（m＞n），則$\frac{1}{2}×2c×5$=$\frac{1}{2}×（m+n+2c）×2$，結(jié)合雙曲線的定義，求出m，n，再利用|PF₁|•|PF₂|=$\frac{9}{4}$ac，求出e，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n（m＞n），則$\frac{1}{2}×2c×5$=$\frac{1}{2}×（m+n+2c）×2$，
∴m+n=3c，
∵m-n=2a，
∴m=$\frac{3}{2}$c+a，n=$\frac{3}{2}$c-a，
∵|PF₁|•|PF₂|=$\frac{9}{4}$ac，
∴（$\frac{3}{2}$c+a）•（$\frac{3}{2}$c-a）=$\frac{9}{4}$ac，
∴$\frac{9}{4}$e²-$\frac{9}{4}$e-1=0，
∴e=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$．
∴雙曲線Γ的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{3}$x．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．