Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x＜2}\\{f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$，若對(duì)于正數(shù)k_n（n∈N^*），關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)恰好為2n+1個(gè)，則k${\;}_{1}^{2}$+k${\;}_{2}^{2}$+…+${\;}_{n}^{2}$=$\frac{n}{4n+4}$．

Answer 1

分析 函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可化為函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；作函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象，結(jié)合圖象可得y=k_nx的圖象與（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{1-（x-1）^{2}}，0≤x＜2}\\{f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$的圖象相切，從而可得，從而解得k_n=，從而可得k_n²=，從而利用裂項(xiàng)求和法解得．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可化為
函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
作函數(shù)f（x）與y=k_nx的圖象如下，
，
∵關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)恰好為2n+1個(gè)，
∴y=k_nx的圖象與y=$\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}$的圖象相切，
∴$\frac{-（x-2n-1）}{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}=\frac{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}{x}$，∴x=$\frac{4n（n+1）}{2n+1}$，
∴k_n=$\frac{\sqrt{1-（x-2n-1）^{2}}}{x}$=$\frac{1}{2\sqrt{n（n+1）}}$，
∴k_n²=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴k₁²+k₂²+…+k_n²
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4（n+1）}$，
故答案為：$\frac{n}{4n+4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用及裂項(xiàng)求和法的應(yīng)用．